SEMINAR ON SYMPLECTIC AND CONTACT GEOMETRY
Université Libre de Bruxelles
Second Semester 2008-2009
Monday 14:00-15:00
Room 2.NO.906
Monday, February 2nd
Mauricio Garay
Intégrabilité classique et intégrabilité quantique
Les fondateurs de la mécanique quantique comprenaient la
mécanique quantique comme une variante non-commutative de la
mécanique hamiltonienne où les variables q,p qui commutent
doivent être remplacées par la relation pq-qp=ħ/i
et le crochet de Poisson par le crochet de Poisson non-commutatif, parfois
appelé crochet de Dirac (Heisenberg 1925, Dirac 1925, Born-Jordan 1925):
{f,g}:=1/ħ(fg-gf).
Une question qui s'est posée dès cette époque est la
possibilité de relever toute symétrie du système classique,
en une symétrie du système quantique, comme c'était le
cas par exemple pour l'atome d'hydrogène. On peut par le
théorème de Noether englober cette question dans le
problème suivant : étant donné des fonctions f1,
...,fk définies sur l'espace des phases dont les crochets
de Poisson sont deux à deux tous nuls, existe-t-il des fonctions des
variables non-commutatives q,p qui les relèvent et qui commutent
elles aussi ?
Nous montrons que l'obstruction est donnée par des classes de
cohomologie du deuxième groupe de cohomologie de f=(f1,...,
fk) et que ces obstructions sont nulles pour les systèmes
intégrables, pourvu que ce groupe soit sans torsion. Ce qui
résout le problème initial sous ces hypothèses.
Nous rappellerons les résultats de base sur la cohomologie d'un
système involutif et sur la classification des star-produits dont
nous aurons besoin pour l'exposé.
Il s'agit d'un travail en commun avec Duco van Straten.
| 14:15 |
Henri Anciaux (Institute of Technology, Tralee) |
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Minimal Lagrangian surfaces in the tangent bundle of a Riemann surface |
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It is well known that the cotangent bundle of a surface S has a natural
symplectic structure and therefore hosts Lagrangian surfaces. On the other
hand, given a Riemann structure to S, it may be used to identify the cotangent
and tangent bundles of S. It has been recently observed that this Riemann
structure allows to define a pseudo Kähler structure on TS, which is
natural in the sense that it is compatible with the canonical symplectic
structure. Having a pseudo Kähler (and hence a pseudo metric) allows to
speak about the area of surface and therefore about minimal ones. In this talk
we shall give a classification of the minimal Lagrangian surfaces of TS.
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| 15:45 |
Ozgur Ceyhan (MPIM Bonn) |
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Quantum cohomology of real varieties and real enumerative geometry
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Monday, February 23rd
Vincent Humilière (Munich)
Hamiltonian pseudo-representations
Monday, March 2nd
Eva Miranda (Barcelone)
Rigidité des actions en variétés de Poisson
Richard Palais avait démontré que deux actions C1-proches d'un groupe de
Lie compact dans une variété compacte sont conjuguées par un difféomorphisme.
On peut
étendre ce résultat à la catégorie symplectique en utilisant la méthode du
chemin. Dans le cas d'une variété de Poisson, Viktor Ginzburg avait démontré
que les actions
de Poisson sont rigides par déformations en utilisant une méthode du chemin
généralisée. Dans l'étude de la rigidité des actions de Poisson au sens
général il faut utiliser des outils plus sophistiqués (type Nash-Moser). Le
but de cet exposé est de présenter un résultat de rigidité (travail joint
avec Philippe Monnier et Nguyen Tien Zung) pour les actions hamiltoniennes
semisimples de type compact (dans le cadre local et global). Pour cela on va
présenter un résultat de Nash-Moser généralisé pour les espaces SCI qui
utilise la méthode itérative de Newton. Ce dernier résultat a des
applications à d'autres problèmes de stabilité et de formes normales pour
les structures géométriques.
Monday, March 9th
Klaus Niederkrüger (ENS Lyon)
Désingularisation des orbifolds symplectiques
Monday, March 16th, 13:00-14:00
Note special time !
Nicolas Roy (Berlin)
Generalized Weinstein's Tubular Neighbourhood & spaces of Completely Integrable systems
| 14:15 |
Barney Bramham (MPI Leipzig) |
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Non-separating contact hypersurfaces |
| 15:45 |
Joan Licata (MPI Bonn and Stanford) |
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An invariant for knots in lens spaces
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Monday, April 27th
Gabi Ben Simon (ENS Lyon)
Quasimorphisms and Partial orders in Symplectic geometry and Lie Groups
Monday, May 4th
Petr Pushkar (ULB)
On a number of critical points of a function
For a smooth Morse function on a closed manifold we will give an estimation on a size of its C0-neighborhood such that any Morse function from the neighborhood has sufficiently big number of critical points.
Joint work with Yu. Chekanov.
| 14:15 |
Emmanuel Opshtein (Strasbourg) |
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C0-rigidity of characteristics in symplectic geometry |
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Gromov and Eliashberg have proved that the closure of the symplectic diffeomorphisms in the space of homeomorphisms is a proper subset of the volume preserving-homeomorphisms, hence giving birth to a C0 symplectic topology. In this talk, I will show that the characteristics of a hypersurface are invariants of this continuous symplectic geometry : if a symplectic homeomorphism sends a smooth hypersurface to another one, it must take the caracteristic of the source hypersurface
to the ones of the target.
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| 15:45 |
Marco Mazzucchelli (Pisa and MPI Leipzig) |
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The Conley conjecture for Tonelli systems
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On a closed configuration space M, a time-periodic Lagrangian function L: R/Z × TM → R is called Tonelli when its restriction to any fiber of TM is superlinear with positive definite Hessian. In this talk I shall prove that, for any Tonelli Lagrangian with global Euler-Lagrange flow, the associated Euler-Lagrange system admits infinitely many periodic solutions. More precisely, I will show that there are infinitely many contractible periodic orbits with apriori bounded mean action and either infinitely many of them are 1-periodic or their basic period is unbounded. This result confirms the Conley conjecture for Tonelli Hamiltonian systems on the cotangent bundle of closed manifolds.
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