Le Canon Gaussien
aussi appelé
Canon magnétique






 Didier Vanderveken
   ULB - Agrégation Sciences Physiques - Sept 2008
Description
 Une bille d'acier est attirée par un superaimant et catapulte une autre bille à grande vitesse.
Pourquoi ?
 Outre son côté ludique qui plait aux adolescents, cette expérience peut être utilisée pour illustrer différents sujets couramment traités en physique dans le secondaire, tels que:
  • Le magnétisme
  • La cinématique (MRUA, balistique, etc.)
  • La dynamique (conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement)
Mais surtout, elle ne coûte pas cher!
Ouvrages de référence
  • Harris BENSON, Physique tome 1 Mécanique, Bruxelles: de boeck, 3ème édition, 2004.
  • Eugene HECHT, Physique tome 1 Mécanique, Bruxelles: de boeck, 1ère édition, 2006.
Appareillage requis
  • Un set de minimum 3 billes d'acier provenant de roulement à billes (ou Géomag)
  • Un ou plusieurs superaimants au Néodime
  • Une cornière alu ou plastique (ou une tringle à rideaux)
Quelques astuces et tour de main
  • Utilisez des aimants de type cylindre (ou cube) ayant le même diamètre que les billes, pour obtenir un meilleur résultat (symétrie du champ magnétique par rapport à l'axe de déplacement des billes).
  • Utilisez une cornière en U (aluminium, plastic, carton plié) de diamètre légèrement supérieur à celui des billes (ou un montage sur base d'une cornière en V) si vous voulez minimiser l'effet de rebond éventuel sur la table d'expérimentation lorsque le projectile quitte la cornière.
  • Assurez-vous que le projectile n'endommagera pas un autre équipement et dégagez la zone de travail d'autres objets susceptibles d'être attirés par l'aimant.
  • Ne dépassez pas plus de 4 étages car les aimants sont fragiles (cassant comme de la céramique).
Les mesures réalisables
Cette manipulation est avant tout démonstrative.
Mais elle peut aussi être utilisée comme lanceur pour des expériences de balistique, où la trajectoire, l'impact ou la vitesse de la bille peuvent être mesurés.
Fonctionnement
Pour un montage simple, à un étage magnétique et 3 billes:
  • prenez la cornière et placez-la où désiré,
  • placez votre (vos) aimant(s) au Néodime dans la cornière, à quelques centimètres d'une extrémité,
  • placez ensuite deux billes dans la cornière, contre l'aimant, du côté par où le projectile doit sortir,
  • amenez progressivement la troisième bille à l'extrémité libre.
La bille sera attirée par l'aimant et propulsera la dernière bille à grande vitesse.

Montages alternatifs:
  • variez le nombre de billes côté projectile ;
  • variez le nombre d'aimants par étage;
  • variez le nombre d'étages (un aimant + 2 billes au minimum) - nombre maximum d'étages: 4.
Montage équivalent possible avec un électro-aimant.  Dans ce cas, il faut aligner l'axe de déplacement des billes avec l'axe de symétrie du solénoïde (un peu plus sophistiqué comme montage), mais on perd la collision.
Interprétation
Cette expérience est aussi intéressante dans la mesure où elle permet d'approfondir les notions de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, en résolvant un paradoxe apparent:

- la bille initiale (a) est au repos et est attirée par l'aimant si elle en est suffisamment proche.  Sa vitesse initiale, et donc son énergie cinétique et sa quantité de mouvement sont nulles. Si la bille initiale (a) est trop éloignée de l'aimant (forte dépendance de la force avec 1/r où r est la distance séparant la bille et l'aimant), la bille sera rapprochée doucement et donc vitesse initiale, quantité de mouvement et énergie cinétique peuvent être prises comme négligeables.
- après le choc, la bille projetée (c), puis (e), puis (g), puis (i), l'est avec une vitesse de plus en plus grande (et donc, énergie et quantité de mouvement), tandis que l'aimant (P, Q, R, S) et les billes rattachées montrent, soit un léger recul si l'aimant est libre (seulement retenu par les frottements), soit aucun recul s'il est solidarisé au dispositif.
Schéma d'un montage à 4 étages magnétiques


Intuitivement
Dans l'état final, toutes les billes sauf (i) sont en contact avec les aimants et cet état peut être considéré comme l'état d'énergie potentielle magnétique le plus faible pour ce système.  Par contre, dans l'état initial, seules les billes (b), (d), (f) et (h) sont dans cet état, les autres billes ont donc une énergie potentielle magnétique plus élevée.  C'est cette énergie potentielle magnétique qui va être convertie en énergie cinétique.

Qu'en est-il exactement?
Au sens strict, le système rail+aimants+billes n'est pas un système isolé (présence de forces extérieures, via les frottements et le lien éventuel de l'aimant au dispositif, et par là, à la Terre), donc la conservation de la quantité de mouvement n'intervient pas pour l'ensemble du processus. Cependant, si nous faisons l'hypothèse que ces forces externes sont négligeables par rapport à celles mises en jeu, nous pouvons considérer qu'il y a conservation de la quantité de mouvement dans le système.
De même, l'énergie cinétique n'est pas conservée à elle seule, mais il faut tenir compte de l'énergie potentielle interne au système (ici l'énergie de liaison due à l'attraction magnétique).

Quelles sont les hypothèses simplificatrices?
  • Pas de frottement avec le rail de support (billes et aimants)
  • Pas de ralentissement des billes dû aux frottements de l'air
  • Pas de perte sous forme de chaleur ou de déformation (choc 100% élastique)
  • Pas de travail des forces de pesanteur (montage à l'horizontale)
Commençons par l'énergie (un seul étage magnétique)
La bille (a), lancée avec une énergie cinétique négligeable, est attirée par l'aimant auquel elle s'attache avec une force considérable (relâchant ainsi une énergie de liaison importante).
De l'autre côté, la bille (c) qui va être éjectée est plus distante de l'aimant car il y a une bille supplémentaire (b) entre les deux, c'est le point-clef.
De ce fait, lorsqu'elle est éjectée, l'énergie de liaison à vaincre est bien moindre, et le surcroît d'énergie potentielle se retrouve donc sous forme d'énergie cinétique, comme on peut le constater.
Une façon simple de le vérifier consiste à faire expérimenter aux élèves qu'un travail non négligeable doit être fourni pour revenir à la situation initiale (détacher une bille fortement liée, ce qui n'est pas compensé par la remise en place de la bille éjectée).

Quantité de mouvement et répartition de l'énergie
Pendant le bref moment du choc, on peut estimer que les forces extérieures sont négligeables: on a donc une conservation approximative de la quantité de mouvement (aussi appelée impulsion).
Appelons m1 et v1 la masse et la vitesse de la bille initiale (a),
m2 et v2 celles de la bille éjectée (c), et mS et vS les quantités correspondantes pour le système en recul aimant+2 billes [(a)+(P)+(b)], ou aimant+2 billes+rail+Terre, si l'aimant est fixé rigidement au dispositif.

L'impulsion est définie comme p = m * v et l'énergie cinétique K = ½ * m * v².

La conservation de la quantité de mouvement (ou impulsion) s'écrit :
p1 = p2 + pS

Si v1, et donc le produit m1*v1 = p1, peuvent être négligés, nous obtenons :
0 = m2 * v2 + mS * vS
En d'autres termes,
vS = -v2 * (m2/mS)

et donc, la vitesse de recul tend vers zéro si la masse du sytème S est beaucoup grande que celle de la bille.  En particulier, si l'aimant est fixé, c'est toute la masse du système, voire de la Terre, qu'il faut invoquer.
La conservation de la quantité de mouvement est donc compatible avec un recul lent de l'objet lourd, recul qui est soit rapidement freiné, soit empêché si l'objet est attaché.

Pour ce qui est de l'énergie, les énergies cinétiques de la bille éjectée (c) et du système de l'aimant sont respectivement:
K2 = ½ * m2 * v2 2 et KS = ½ * mS * vS 2,
de par la relation de conservation de l'impulsion au moment du choc, il est facile de vérifier que leur rapport est v2/vS,
de sorte que, dans la limite de mS >> m2, vS<<v2 et quasi toute l'énergie cinétique est emportée par la bille éjectée, ce qui explique sa vitesse élevée.

Dans un montage multi-étage où la distance (a)-(P) = (c)-(Q) = (e)-(R) = (g)-(S), on peut considérer en première approximation (cf. supra) que la vitesse d'impact de (a) sur (P) est égale à la vitesse de libération de (c), et donc chaque étage augmente la vitesse de la bille de la même façon, soit

v(i) = 4 * v(a) impact,

Et donc l'énergie cinétique variant avec le carré de la vitesse, on a K(i) = 16 K(a) impact !!

Voilà, entre autres, pourquoi il est sage de ne pas dépasser 4 étages magnétiques, ne fût-ce que pour ne pas casser les aimants !
Résultats
Voici la séquence de montage du dispositif pour un seul étage magnétique:



Dans la vidéo suivante, la cornière est en légère montée.  Notez qu'au retour de la bille éjectée, la bille initiale reste collée à l'aimant et n'est plus éjectée à son tour.  Le bloc aimant n'est pas fixé au support.  Pour visionner la vidéo, cliquez ici.