Matière à connaître — Math F 112 — 2015-2016

Table des matières

1 Matière à connaître

Les mathématiques sont le plus utiles lorsqu'elles sont réellement comprises, et non "apprises par cœur". Aussi, afin d'éviter le bachotage inutile, le présent document renseigne la matière sur laquelle porteront essentiellement les questions de restitution lors des examens.

Bien sûr, la compréhension globale est nécessaire en plus de la simple restitution. Par ailleurs, ceci ne restreint aucunement la matière sur les exercices qui peuvent porter sur tout ce qui a été vu aux cours et, bien évidemment en ordre principal, sur ce qui a été exercé aux séances d'exercices.

Les numéros des cours correspondent à ceux des slides qui se trouvent sur la page http://homepages.ulb.ac.be/~nrichard/Math-F-112/.

1.1 Définitions

Il faut pouvoir définir avec précision les notions suivantes. Pour chaque définition, il faut pouvoir donner des exemples, contre-exemples et des liens avec les autres définitions (lorsque cela a du sens).

1.1.1 Cours 1 à 6 (BIOL1, CHIM1, GEOL1, GEOG1, IRBI1, INFO1, SCIE1, PHAR1)

  • Coefficients binomiaux
  • Produit scalaire.
  • Norme.
  • Fonction paire, impaire, périodique, injective, surjective.
  • Ensemble image et période d'une fonction
  • Produit vectoriel

1.1.2 Cours 7 à 9 (BIOL1, CHIM1, GEOL1, GEOG1, IRBI1, INFO1, SCIE1)

  • Limite d'une fonction.
  • Notation de Landau (petit o et grand O)
  • Asymptote verticale, horizontale, oblique.
  • dérivable (pas pour le test d'octobre)
  • tangente (pas pour le test d'octobre)
  • ouvert (pas pour le test d'octobre)

1.1.3 Cours 10 à 16 (BIOL1, CHIM1, GEOL1, GEOG1, IRBI1, INFO1, SCIE1)

  • Fonction dérivée
  • Minimum et maximum (global et local)
  • Polynôme de Taylor
  • Reste de Taylor
  • Primitive
  • Subdivision
  • Somme de Darboux inférieure et supérieure
  • Intégrale inférieure et supérieure
  • Intégrabilité d'une fonction
  • Intégrales généralisées
  • Courbe paramétrée
  • Vecteur vitesse et vitesse scalaire
  • Vecteur tangent unitaire
  • Vecteur normal unitaire
  • Longueur d'une courbe paramétrée
  • Matrice, matrice-ligne, matrice-colonne, matrice carrée (pas pour janvier)
  • Somme, produit de matrice (pas pour janvier)

1.1.4 Cours 17 à la fin module T

  • matrice identité
  • déterminant d'une matrice 2x2
  • inversibilité et inverse d'une matrice
  • Trace d'une matrice carrée
  • Polynôme caractéristique d'une matrice carrée
  • Ensembles de niveau d'une fonction de \(\mathbb R^n \to \mathbb R\)
  • Gradient et matrice Jacobienne
  • Dérivée directionnelle
  • Matrice Hessienne
  • Différentiabilité
  • Minimum (local, global, strict ou pas)
  • Point critique
  • Domaine horizontalement et verticalement simple de \(\mathbb R^2\).
  • Partie réelle, partie imaginaire, module, conjugué d'un nombre complexe.

1.2 Résultats

Les résultats suivants doivent pouvoir être cité avec précision, y compris leur démonstration si elle a été vue au cours (sauf exceptions explicites)

1.2.1 Cours 1 à 6 (BIOL1, CHIM1, GEOL1, GEOG1, IRBI1, INFO1, SCIE1, PHAR1)

  • Propriété \(\binom {n+1} k = \binom n k + \binom n {k-1}\).
  • Formule du binôme (Newton).
  • Relation fondamentale en trigonométrie (sans preuve).
  • Résultats de trigonométrie liés aux symétries.
  • Sinus et cosinus d'une somme.
  • Loi des sinus.
  • Loi des cosinus (sans preuve).
  • Propriétés du produit scalaire (symétrique, défini positif, bilinéaire) et formule en terme de la norme et de l'angle entre les vecteurs (sans preuve).
  • Projection orthogonale d'un vecteur sur un autre.
  • Inégalité de Cauchy-Schwarz.
  • Propriétés de la norme et inégalité triangulaire (sans preuve).

1.2.2 Cours 7 à 9 (BIOL1, CHIM1, GEOL1, GEOG1, IRBI1, INFO1, SCIE1)

  • Règles de calcul (y compris généralisées) sur les limites
  • Théorème de la valeur intermédiaire
  • Théorème des bornes atteintes
  • Dérivable implique continue (pas pour le test d'octobre)

1.2.3 Cours 10 à 16 (BIOL1, CHIM1, GEOL1, GEOG1, IRBI1, INFO1, SCIE1)

  • Règles de calcul pour les dérivées (somme, différence, produit (avec preuve), quotient)
  • Dérivée d'une composée, dérivée de la réciproque (sans preuve)
  • Lien entre extrémum et annulation de la dérivée
  • Théorème de Rolle (sans preuve)
  • Théorème des accroissements finis (sans preuve)
  • Théorème de Taylor
  • Formule de Lagrange (pour le reste de Taylor)
  • Théorème Fondamental du Calcul Différentiel et Intégral
  • Formule du changement de variable pour les intégrales définies
  • Exemple : le produit matriciel n'est pas commutatif (pas pour janvier)

1.2.4 Cours 17 à la fin module T

  • Unicité de l'inverse matriciel
  • Lien entre gradient et dérivée directionnelle pour une fonction différentiable.
  • Dérivée de la composée d'une fonction \(\mathbb R \to \mathbb R^n\) avec une fonction \(\mathbb R^n \to \mathbb R\). ("Chaine rule" ou "Règle de dérivation en chaîne") (sans preuve)
  • Théorème fondamental de l'algèbre (sans preuve)

Auteur: Nicolas Richard

Created: 2016-02-26 ven 17:52

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