A wavelet transform decomposes data into a sparse, multiscale representation.
This dissertation uses both features in wavelet based noise reduction
algorithms.
Sparsity is the key to wavelet thresholding: coefficients with magnitude below
a threshold are replaced by zero. After an introduction to wavelets
and their applications, this text discusses the minimum risk threshold. This
threshold minimizes the expected mean square error of the output. This
error cannot be computed exactly when the uncorrupted data are unknown. We
present a procedure based on generalized cross validation (GCV) to estimate the
optimal threshold. An asymptotic argument motivates this estimation method. To
this end, we first study the asymptotic behavior of the minimum risk threshold.
We compare these minimum risk and GCV thresholds with the well known universal
threshold.
The multiresolution character of a wavelet decomposition allows for refinements
of the general threshold scheme. Tree structured thresholding reduces false
structures in the output. Scale dependent thresholds are necessary to deal with
correlated noise or non-orthogonal wavelet transforms. The synthesis from a
non-decimated wavelet transform has an additional smoothing effect. We also
investigate noise reduction in the framework of integer wavelet transform.
The next part concentrates on images. An approximation theoretic argument
learns that wavelets might not be the ultimate basis functions for image
processing. Moreover, selecting the coefficients with large magnitude is a
local approach. A Bayesian procedure could lead to a more structured
coefficient selection, which better preserves edges in the output. The
geometric prior model favors clusters of important coefficients.
The last part investigates the applicability of threshold algorithms for
non-equidistant data and second generation wavelets. Experimental results
indicate that instability of the wavelet transform hinders the classification of
the coefficients according to their importance. We propose an algorithm to
overcome this difficulty.
Wavelets vormen een wiskundige basis die bijzonder geschikt is voor
bepaalde signaal- en beeldverwerkingsoperaties. Eén van die mogelijke
toepassingen is beeldcompressie. Een waveletvoorstelling van een beeld
bevat enkele grote getallen die de essentiële informatie dragen en vele
kleine getallen voor de details. Een groot deel van die kleine getallen
kan achterwege blijven zonder dat dit aanleiding geeft tot waarneembaar
kwaliteitsverlies. Waar details (kleine getallen) toch een zichtbaar verschil
uitmaken, gaat het dikwijls om ruis. Hetzelfde principe als dat van compressie
ligt dus ook aan de basis van ruisonderdrukkingsschema's: laat de kleine
getallen in de waveletvoorstelling weg.
In dit proefschrift bestuderen we waar we de grens (de drempel) moeten
trekken tussen belangrijke informatie en details of ruis. Als we de ruisvrije
informatie kenden, zouden we de optimale grens exact kunnen berekenen. In deze
tekst gaan we na hoe die optimale drempel zich globaal gedraagt en hoe we die
kunnen schatten als we enkel over de gegevens met ruis beschikken. Daarna
bespreken we enkele praktijkvoorbeelden. We stellen enkele eenvoudige
verfijningen voor om het drempelprincipe ook te laten werken in meer complexe
situaties. Vervolgens leiden we een techniek in om de randen in het
uitvoerbeeld minder wazig te maken. Een laatste hoofdstuk voor het algemeen
besluit bestudeert de moeilijkheden die optreden wanneer de invoer niet bestaat
uit een regelmatig signaal of een beeld maar uit waarnemingen op onregelmatige
tijdstippen.
Een wavelettransformatie ontbindt gegevens in een ijle voorstelling die
bovendien verschijnselen op verschillende schalen ontleedt.
Dit proefschrift gebruikt beide eigenschappen in waveletgebaseerde
ruisonderdrukkingsalgoritmen.
Ijlheid ligt aan de basis van methoden met waveletdrempels: coëfficiënten
met absolute waarde onder een drempel worden nul. Na een inleiding tot wavelets
en hun toepassingen bespreekt deze tekst de drempel met minimale kwadratische
fout in de uitvoer.
Deze fout kunnen we niet exact berekenen als de ruisvrije gegevens
onbekend zijn. We stellen een procedure voor, gebaseerd op veralgemeende
kruisvalidatie (GCV - generalized cross validation) om de drempel met minimale
fout te schatten. We tonen aan dat deze procedure asymptotisch optimaal is.
Hiertoe bestuderen we eerst het asymptotisch gedrag van de drempel met minimale
fout. We maken ook de vergelijking tussen deze drempel, de GCV-drempel en de
bekende universele drempel.
Het multischaalkarakter van een waveletontbinding leidt tot verdere verfijning
van het drempelalgoritme. Boomgestructureerde selectie van coëfficiënten
vermindert het aantal storende, oneigenlijke structuren in de uitvoer.
Schaalafhankelijke drempels zijn nodig als de ruis gecorreleerd (gekleurd) is
of de transformatie niet orthogonaal is. Een niet-gedecimeerde
wavelettransformatie veroorzaakt een bijkomende vereffening van de gegevens.
We onderzoeken eveneens de mogelijkheden van een gehele-getallentransformatie
in ruisonderdrukkingsschema's.
Een volgend deel gaat dieper in op toepassing op beelden. Een
benaderingstheoretische redenering geeft aan dat wavelets voor tweedimensionale
gegevens niet noodzakelijk de beste voorstelling opleveren. Bovendien is de
selectie op basis van de grootte van iedere individuele coëfficiënt een erg
lokale aanpak. Een Bayesiaanse procedure moet tot een meer gestructureerde
selectie leiden, waarbij randen in de uitvoer beter bewaard blijven. Het
ruimtelijk a priori model bevordert clusters van belangrijke coëfficiënten.
Het laatste deel onderzoekt de toepasbaarheid van drempelmethoden voor
gegevens op onregelmatige afstand van elkaar. Hiervoor dienen wavelets van de
tweede generatie. Experimentele resultaten wijzen op problemen ten gevolge van
instabiliteiten in de transformatie: het is moeilijker het belang van een
coëfficiënt af te lezen uit zijn grootte. We stellen een algoritme voor om
deze moeilijkheden te omzeilen.
This page is maintained by Maarten Jansen
(
Last update: 6 March 2000